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魏尔斯特拉斯和波尔查诺发现了维尔斯特拉斯判别法和波尔查诺-维尔斯特拉斯定理。
维尔斯特拉斯对波尔查诺说:“我们继续开始研究级数收敛的问题吧。”
波尔查诺说:“有界数列必有收敛子列。”
从极限点的角度来叙述致密性定理,有界数列必有极限点。
维尔斯特拉斯说:“只要有界,必然会有收敛的子列?这个想法有意思。一听就知道,是为了解决一个问题而提出和发现的东西。”
波尔查诺说:“在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列的子列。”
维尔斯特拉斯说:“我知道,你说的有界,是无限的数列,不是因为区有限定义域的那种。直观来讲肯定是对的,只是为了证明一下而已。数列有没有收敛,只需证明母列是有没有界即可。”
波尔查诺说:“没错。”
维尔斯特拉斯说:“而我发现了一种判别法。跟你说法不一样,但是也有相同意思。”
波尔查诺说:“请教。”
维尔斯特拉斯说:“如果一个数列,在一个定义域内,它的每一项都小于收敛正项级数的每一项,那一定是收敛的。”
波尔查诺说:“你这个在直观上也好理解。证明数列有没有收敛,只需要证明是不是小于收敛正项级数的每一项就够了。”
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