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马尔可夫对李雅普诺夫说:“到此为止,其实我们需要对系统稳定性进行一下分类了。”
李雅普诺夫说:“给两个大致相同,但初始值有差异的两个函数。”
李雅普诺夫说着开始画出了这两个假设的函数图形,随着实际的变化,一开始有微小差别的函数,然后一段相同到重合在一起,之后就出现了差异,这种差异的变动越来越大。
李雅普诺夫说:“我用一个函数来表示这两个函数的差异。”
马尔可夫说:“两者做差?”
李雅普诺夫说:“不仅仅做差,要求导迭代。”说着李雅普诺夫写出了指数公式。
马尔可夫看到李雅普诺夫写出一次迭代,二次迭代一直到n次迭代。
李雅普诺夫对马尔可夫说:“一次的迭代没价值,如果迭代到无穷次,是趋向于一个值的,这样的指数才会有价值呢。”
马尔可夫说:“你用这样的无穷思想,真真是厉害极了。发散了,就不用管了,收敛了就会让这个成为一种等价性,变得可以分析了。”
李雅普诺夫说:“如果是混沌的,这个指数λ就会发散。”
然后李雅普诺夫将指数λ的分类给马尔可夫看。
(λ1,λ2,λ3,···),吸引子的类型,维数
(-,-,-,···),不动点,D=0
(0,-,-,···),极限环,D=1
(0,0,-,-,···),二维环面,D=2
(0,0,0,-,···),三维环面,D=3
(+,0,-,-,···),奇怪吸引子(混沌),D=2~3(非整数)
(+,+,0,-,···),超混沌,D=高于3的非整数
马尔可夫沉静在这优美的思想中。
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