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第四百五十二章 玻尔－诺伊格鲍尔概周期函数函数论（第1页）

玻尔-诺伊格鲍尔理论阐明常系数线性微分方程有界解为概周期解的重要理论.玻尔（Bohr，H.）最早指出：概周期函数f（t）的积分是概周期函数的充分必要条件是，F（t）对一切t∈R为有界.这就解决了最简单的一阶概周期微分方程dxdt=f（t）是否存在概周期解的问题.以此为基础，对于一阶线性常系数概周期方程以及一般n维非齐次线性常系数概周期微分方程dxdt=Ax+f（t）。

其中A为n×n常量矩阵，f（t）为概周期n维向量函数，论证它们的有界解即概周期解的理论，称为玻尔-诺伊格鲍尔理论.

哈那德·波尔说：“你为什么想要编撰古代精密科学的研究？是不想研究现代的吗？”

诺伊格鲍尔对波尔说：“正相反，我致力于做古代科学研究，正是因为现在的科学就是从古代而来，看过古代科学之后，可以温故而知新，更加熟练的了解现在的科学。”

波尔说：“那你还会研究现在的科学吗？”

诺伊格鲍尔说：“是的，其实我知道这些东西增加了我对文献学的理解。”

波尔说：“哪些是实用的？”

诺伊格鲍尔说：“我们需要把没用的文献，一脚踢开。大量没用的，占用时间的，或者是重复的文献是在占用时间，连一个字都不能多留下。”

波尔说：“然后只读一些新的，最新鲜的，这样可以保证让自己一直快速有效的得到新知识。”

诺伊格鲍尔说：“没错，这也是读文献的真正目的。随着文献的增加，我们肯定需要更多的知识充实自己，然后让自己做出更多有效的贡献。”

随后两个人的交谈转向了数学问题。

波尔说：“前一段时间考虑的系数线性微分方程有界解为概周期解的问题，考虑过了吗？”

概周期函数又称殆周期函数，周期函数的一种推广，具有某种近似周期性的有界连续函数。概周期函数是在研究周期函数某种性质的基础上进一步提出来的。三角多项式以及三角多项式序列的极限都是周期函数。而三角和序列的极限却未必是周期函数。但这类极限函数的特征可以用某种近似周期性来刻画。

不同的周期函数由于周期不尽相同，其和、差或乘积不一定再是周期函数。概周期函数尽管未必有严格的周期性，但可拥有一些比周期函数更好的性质。这一概念首先于1925年被丹麦数学家哈那德·玻尔引进，后来赫曼·外尔、贝西科维奇等人也有研究和推广。贝西科维奇因概周期函数方面的贡献获得了1931年剑桥大学的亚当斯奖。

诺伊格鲍尔说：“如果定义域有界，那就可以成为概周期。”

哈那德·波尔本人是波尔的弟弟，他的哥哥是个着名的量子物理学家。而他不逊色自己的哥哥。

如同周期函数一样，任何概周期函数都是有界的，且一致连续。

如果f是概周期函数，那么对于任意实数a，f（x+a）、f（ax）、af（x）、|f（x）|也是概周期函数。

如果f和g都是概周期函数，那么f+g、f-g和都是概周期函数。

如果f（x）是概周期函数，H是f的值域到R上的一致连续函数，则H（f（x））也是概周期函数。

如果概周期函数的序列在实轴上一致收敛于函数f（x），则f（x）也是概周期函数。

如果f（x）是概周期函数，则f（x）为概周期函数的充分必要条件是f（x）的导函数f（x）一致连续。

如果f（x）是概周期函数，则F（x）为概周期函数的充要条件为F（x）有界。

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