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第三百八十一章 拓扑学拓扑学（第1页）

1966年，英国拓扑学家马克·阿姆斯特朗对自己的老师知名拓扑学家ErikZeeman说：“拓扑学是如何开始的？”

ErikZeeman说：“从欧拉的七桥定理开始的，从这个中间把七桥的模型画成图论，从图论中分析出拓扑等价。”

马克说：“听起来很简单，那如何去研究拓扑学呢？”

ErikZeeman说：“主要就是分类，对不同的拓扑结构进行分类。分类出很多曲面，对曲面解构成抽象空间，然后找到拓扑不变量去分类。”

马克说：“那要分类很多曲面，是什么曲面？有标准吗？”

ErikZeeman说：“是的，要严格的连续曲面，不能是离散的。”

马克说：“如何说明是连续的？”

ErikZeeman说：“就跟我说的一样，这是一个抽象空间，这个空间需要由开集和闭集这样的东西给组成。然后开集和闭集需要引入连续映射系统来完整这个函数的描述。”

马克说：“为什么要用开集和闭集这样的东西？”

ErikZeeman说：“因为严格。如果使用几何、数字、符号或者是其他的描述拓扑的系统，都缺乏严格性。如果时间久了会出现很多我们不想要的漏洞。”

马克说：“我明白了。”

ErikZeeman说：“在这样的前提下，就可以大胆的研究映射，让曲线充分的施展开来。可以让普通的曲线因为映射充满整个空间。同时开始使用Tietze扩张定理。”

马克说：“扩张？如何扩张？”

ErikZeeman说：“是R的n维空间的有理点集，扩张到整个空间。”

马克说：“扩张到所有的无理点集？”

ErikZeeman说：“恩，是这个意思。”

马克说：“不错，可是刚刚说的这个开集和闭集，这个如何算严格，怎么去连续，变得光滑？”

ErikZeeman说：“需要有紧致性和连通性，加有界闭集这种概念。闭集是bai两边类似[1，10]；有界集两边是（1，10]，[1，10）两种。”

马克说：“有界之后，如何紧致化？”

ErikZeeman说：“这是海涅－博雷尔定理或有限覆盖定理、定理的主要内容是度量空间的子集是紧致的，当且仅当它是完备的并且完全有界的。”

马克说：“是子集紧致就行吗？那能不能在详细一些，紧致空间的性质是什么？”

ErikZeeman说：“紧致性本质上是有限性条件，有限性条件破解类似一日之椎，日取其半，万世不可遏这样的意思。假如孙悟空在如来的手掌心翻跟斗，跟斗云是一个任意序列，停在如来的手指旁是存在一个子列收敛，留下到此一游的字和撒尿是在一个有界的闭集里。或者一个瓶子里装高尔夫球后，可以装石子，然后还可以装沙子，最后还可以装水，这都说明原来的东西不够紧。这些都可以作为例子来想。”

马克说：“不错，这个解释变得清晰了一些。”

ErikZeeman说：“然后，就需要了解乘积空间。”

马克说：“乘积空间是干什么的，是要把拓扑空间乘起来吗？”

ErikZeeman说：“没错，打个比方，就是R的n维空间是n个R直线乘起来的。”

马克说：“这个是在高维度实数坐标中的一种比喻。”

ErikZeeman说：“现在开始研究连通性。如果非空的A和B都是分离并，他们都在X中，一般是不连通的。”

马克说：“什么？”

ErikZeeman继续说：“如果X让分离并连通了，就称之为连通的。”

马克说：“R的n维空间是连通的吗？”

ErikZeeman说：“是连通的。”

ErikZeeman：“拓扑世界有两种，一个是连通，一个是不通。”

马克说：“如何去判定这些？”

ErikZeeman：“比如一个实心圆球内部是处处通，若有一个洞，这个洞不通。”

马克觉得研究拓扑，终归就是说很多东西是不是等价的，或者是符合什么什么特性的，他说：“为了这是干嘛？是为了给各种不同的拓扑进行分类？这是最合理的分类方法？”

ErikZeeman：“没错，之后谈拓扑分类时，都是用道路连通性这类符号去运算各种东西的。毕竟拓扑不看尺寸的长短和面积的大小之类的东西。计算的是一种性质，类似洞数等等之类的，同时也要研究这些不同拓扑直接是否是同一种类型。”

马克说：“然后运算是如何远算的？有四则运算这种吗？”马克脑子里有点晕，在想数字计算的事情，没有用心问问题。

ErikZeeman：“拓扑中远算往往要做一些工作，一般讲一些复杂形状是如何用简单形状组成的。但此组成也不像简单的垒积木和焊接那么简单。”

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